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\begin{document}

\title{Modelos Físicos Empleados: Informe Detallado}
\author{Equipo de Desarrollo}
\date{\today}
\maketitle

\section{Introducción}
En este documento se recogen los fundamentos físicos y las fórmulas clave que se han empleado en las distintas partes de nuestro proyecto de simulación. Cubriremos aspectos como la autoinductancia de espiras, el cálculo de inductancia total en una bobina, la resistencia en cobre, la fuerza de rozamiento aerodinámico, la dinámica de proyectiles (con y sin rozamiento) y el cómputo de energía mecánica.

\section{Bobina e Inductancias}
\subsection{Autoinductancia de una espira}
La autoinductancia de un anillo de radio $r$ se calcula mediante una fórmula aproximada:
\begin{equation}
   L_{\text{loop}} \approx \mu_{0}\,r\,\biggl[\ln\bigl(\tfrac{8r}{a_{\mathrm{eff}}}\bigr) - 2\biggr],
\end{equation}
\noindent donde $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ y $a_{\mathrm{eff}}$ es el radio efectivo que toma en cuenta el grosor del conductor.

\subsection{Inductancia mutua entre dos espiras coaxiales}
Para dos espiras coaxiales de radios $r_{1}$ y $r_{2}$, separadas una distancia axial $z$, se emplean integrales elípticas completas de primera ($K$) y segunda especie ($E$). La inductancia mutua $M$ se expresa:
\begin{equation}
   M = \mu_{0}\,\sqrt{r_{1}r_{2}}\,\frac{(2 - k)\,K(k^{2}) - 2\,E(k^{2})}{k}, \quad\text{con}\quad k^{2} = \frac{4\,r_{1}\,r_{2}}{(r_{1}+r_{2})^{2} + z^{2}}.
\end{equation}

\subsection{Inductancia total de la bobina}
El total se obtiene sumando la autoinductancia de cada espira y la mutua entre pares:
\begin{equation}
   L_{\text{total}} = \sum_{i} L_{\text{espira},i} + 2 \sum_{i<j} M_{ij}.
\end{equation}
Esta aproximación es de orden $O(N^2)$ al considerar todos los pares de espiras.

\subsection{Resistencia en el bobinado de cobre}
La longitud total del hilo, $\ell_{\mathrm{total}}$, se calcula como la suma de las circunferencias de cada espira. Luego:
\begin{equation}
   R = \rho_{\mathrm{Cu}}\,\frac{\ell_{\mathrm{total}}}{A}, \quad \text{con}\quad A = \pi\,r_{\text{hilo}}^{2},
\end{equation}
\noindent donde $\rho_{\mathrm{Cu}} \approx 1.68\times 10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}$.

\section{Rozamiento Aerodinámico: Coeficiente $b$}
Para simplificar el arrastre, se ha empleado un modelo lineal, $F_{\mathrm{drag}} = -b\,\vec{v}$. El coeficiente $b$ se relaciona con la forma tradicional de arrastre $\frac12\rho C_{D} A\,v^2$ a través de
\begin{equation}
   b = 0.5\,\rho\,C_{D}\,A,
\end{equation}
\noindent donde $\rho$ es la densidad del aire, $C_{D}$ el coeficiente de forma (depende de la geometría) y $A$ el área frontal.

\section{Dinámica del Proyectil}
\subsection{Caso sin rozamiento}
El movimiento se reduce a un tiro parabólico clásico:
\begin{align}
   a_{x} &= 0, && v_{x} = \text{cte}, \\[-3pt]
   a_{y} &= -g, && v_{y}(t+\Delta t) = v_{y}(t) - g\,\Delta t.
\end{align}
La posición se actualiza integrando $x(t+\Delta t)=x(t)+v_{x}(t)\,\Delta t$, y análogamente para $y$.

\subsection{Caso con rozamiento lineal}
Incluimos la fuerza $F_{\mathrm{drag}} = -b\,\vec{v}$, por lo que:
\begin{align}
   m\,a_{x} &= -b\,v_{x} \implies a_{x} = -\tfrac{b}{m}\,v_{x},\\
   m\,a_{y} &= -m\,g - b\,v_{y} \implies a_{y} = -g - \tfrac{b}{m}\,v_{y}.
\end{align}
Luego se integra numéricamente (método de Euler) en pequeños pasos de tiempo $\Delta t$.

\section{Energía Mecánica}
En todo momento podemos calcular:
\begin{align}
   E_{c} &= \tfrac12\,m\,(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}),\\
   E_{p} &= m\,g\,y, \quad\text{si } y \ge 0,\\
   E_{\text{total}} &= E_{c} + E_{p}.
\end{align}
El arrastre disipa energía, de modo que $E_{\text{total}}$ no permanece constante si $b\neq0$.

\section{Conclusión}
Hemos revisado los principales modelos físicos que sustentan cada parte del proyecto: el diseño de la bobina (inductancia y resistencia), el rozamiento aerodinámico y la dinámica de un proyectil con o sin rozamiento. Estas ecuaciones y supuestos constituyen la base para la simulación y los cálculos de energías, alcance, y optimización del ángulo.

\end{document}